Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AE的中點，AB=5，BD=4，則sin∠ECB=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 作輔助線，根據直徑所對的圓周角是直角，構建兩個直角三角形，再利用弧的中點的定義及弧相等，則所對的圓周角相等得：∠ABD=∠CBE，根據等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函數得出結論．

解答 解：連接BE、AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠ECB+∠CBE=90°，∠ABD+∠DAB=90°，
∵D為$\widehat{AE}$的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ABD=∠CBE，
∴∠ECB=∠DAB，
在Rt△ADB中，∵BD=4，AB=5，
∴sin∠DAB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠ECB=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了圓周角定理和解直角三角形，掌握圓周角的兩個定理：①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．②半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．這兩個性質在圓的證明題中經常運用，要熟練掌握．