Question

19．如圖所示，在一矩形空地ABCD內建筑一個小的矩形花壇AMPN，要求P在BD上，M、N分別在AB、AD上．已知AB=160米，AD=100米，設AN=x（米）．
（1）設AM=y，求y與x之間的函數表達式；
（2）當AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出PN∥AB，PN=AM，由平行線得出△DNP∽△DAB．得出$\frac{DN}{DA}=\frac{NP}{AB}$，即可得出結果．
（2）設花壇AMPN的面積為S，由矩形的面積公式得出S是x的二次函數，把二次函數化成頂點式，即可得出結果．

解答 解：（1）∵四邊形AMPN是矩形，
∴PN∥AB，PN=AM，
∴△DNP∽△DAB．
∴$\frac{DN}{DA}=\frac{NP}{AB}$．
∵AB=160，AD=100，AN=x，AM=y，
∴$\frac{100-x}{100}=\frac{y}{160}$．
∴$y=-\frac{8}{5}x+160$．
（2）設花壇AMPN的面積為S，
則$S=xy=x（-\frac{8}{5}x+160）=-\frac{8}{5}{（{x-50}）^2}+4000$．
∵$-\frac{8}{5}＜0$，
∴當x=50時，S有最大值，S_最大值=4000．
即當AM=80m，AN=50m時，花壇AMPN的最大面積為4000m²．

點評 本題考查了相似三角形的應用、矩形的性質、二次函數的應用；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關鍵．