Question

6．如圖拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D，連接AC、CD、AD．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）求△ACD的面積；
（3）若點Q在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點P，使得以A、B、Q、P四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據勾股定理，可得AC，CD，AD的長，根據勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）分類討論：①平行四邊形AQBP，根據平行四邊形的對角線互相平分，可得答案；
②?ABQP，根據平行四邊形的對邊相等，可得P點的橫坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；
③?ABPQ，根據平行四邊形的對邊相等，可得P點的橫坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標．

解答 解：（1）當x=0時，y=3，即C（0，3）
將A、C、B點坐標代入、及對稱軸，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=-（x-1）²+4，得頂點坐標是（-1，4），
由勾股定理，得
AC²=3²+（0-3）²=18，
CD²=（0+1）²+（3-4）²=2，
AD²=（-1+3）²+（（4-0）²=20，
AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{18}$×$\sqrt{2}$=3；
（3）①如圖1，
平行四邊形AQBP，由對角線互相平分，得P₁（-1，4），Q（-1，-4）；
②如圖2，
?ABQP，PQ=AB=4，-1-4=-5，
當x=-5時，y=-25+10+3=-12，即P₂（-5，-12）；
③如圖3，
?ABPQ，PQ=AB=4，P點的橫坐標為-1+4=3，
當x=3時，y=-9-6+3=-12，即P₃（3，-12），
綜上所述：P₁（-1，4），P₂（-5，-12），P₃（3，-12）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形狀；利用平行四邊形的性質：對角線互相平分，對邊相等是求P點的關鍵．