Question

1．已知拋物線y=ax²-2ax+m與x軸交于A（-1，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且滿足S_△ABC=4．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)O的直線交BC于D，且OD剛好平分△ABC的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PCA+∠ABC=180°？若存在，請(qǐng)你求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）的坐標(biāo)代入y=ax²-2ax+m，得a+2a+m=0，可得m=-3a，所以拋物線的解析式為y=ax²-2ax-3a，令y=0，ax²-2ax+-3a=0，解得x=-1或3，推出B（3，0），AB=4，根據(jù)S_△ABC=4，可得OC=2，即可求出a的值解決問題．
（2）如圖1中，連接AC，設(shè)D（m，n）．由題意S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，可得$\frac{1}{2}$×3×n=2，推出n=$\frac{4}{3}$，求出直線BC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)．
（3）如圖2中，連接AC，延長(zhǎng)PC交x軸于E，設(shè)E（m，0）．由△ECA∽△EBC，得到EC²=EA•EB，可得方程m²+4=（-1-m）（3-m），求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出直線PC的解析式，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）的坐標(biāo)代入y=ax²-2ax+m，得a+2a+m=0，
∴m=-3a，
∴拋物線的解析式為y=ax²-2ax-3a，令y=0，ax²-2ax+-3a=0，解得x=-1或3，
∴B（3，0），AB=4，
∵S_△ABC=4，
∴$\frac{1}{2}$×4×OC=4，
∴OC=2，
∴-3a=2，
∴a=-$\frac{2}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2．

（2）如圖1中，連接AC，設(shè)D（m，n）．

由題意S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×3×n=2，
∴n=$\frac{4}{3}$，
∵B（3，0），C（0，2），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，
當(dāng)y=$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$=-$\frac{2}{3}$x+2，
∴x=1，
∴D（1，$\frac{4}{3}$）．

（3）如圖2中，連接AC，延長(zhǎng)PC交x軸于E，設(shè)E（m，0）．

∵∠PCA+∠ABC=180°，∠PCA+∠ECA=180°，
∴∠ECA=∠EBC，∵∠CEA=∠CEB，
∴△ECA∽△EBC，
∴EC²=EA•EB，
∴m²+4=（-1-m）（3-m），
∴m=-$\frac{7}{2}$，
∴E（-$\frac{7}{2}$，0），
∴直線PC的解析式為y=$\frac{4}{7}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{7}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{7}}\\{y=\frac{130}{49}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．