Question

6．如圖1，一次函數(shù)y₁=k+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$（m為常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點(diǎn)M（1，4）和點(diǎn)N（4，n）．

（1）填空：
①反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
②根據(jù)圖象寫出y₁≤y₂時自變量x的取值范圍是x≤1或x≥4；
（2）若將直線MN向下平移a（a＞0）個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，求a的值；
（3）如圖2，函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$的圖象（x＞0）上有一個動點(diǎn)C，若將直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到直線PQ，PQ交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，若BC=2CA，求OA•OB的值．

Answer 1

分析 （1）①把M點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得m的值，可求m的值，可求反比例函數(shù)解析式；②由反比例函數(shù)解析式可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可求得答案；
（2）由M、N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線MN的解析式，再求得平移后直線解析式，聯(lián)立直線和反比例函數(shù)解析式，消去y可得到一元二次方程，由條件可知其判別式為0，可求得a的值；
（3）過C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，由條件可得OB=OD，OA=$\frac{1}{2}$CD，再結(jié)合反比例函數(shù)解析式可求得OD•CD，則可求得OA•OB．

解答 解：
（1）①∵反比例函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$（m為常數(shù)，m≠0）的圖象過點(diǎn)M（1，4），
∴m=1×4=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
故答案為：y=$\frac{4}{x}$；
②∵M(jìn)、N橫坐標(biāo)分別為x=1和x=4，
∴當(dāng)y₁≤y₂時，即直線MN在反比例函數(shù)下方時對應(yīng)的x的取值范圍，
∴x≤1或x≥4，
故答案為：x≤1或x≥4；
（2）∵反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象過點(diǎn)N（4，n），
∴4n=4，解得n=1，
∴N（4，1），
設(shè)直線MN解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線MN解析式為y=-x+5，
把直線MN向下平移a個單位其解析式為y=-x+5-a，
聯(lián)立直線和反比例函數(shù)解析式，消去y可得-x+5-a=$\frac{4}{x}$，
整理可得x²+（a-5）x+4=0，
∵直線MN向下平移后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，
∴方程x²+（a-5）x+4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，即（a-5）²-16=0，
解得a=9或a=1；
（3）如圖，過C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，

∵BC=2AC，
∴A為BC中點(diǎn)，
∵CD∥OA，
∴O為BD中點(diǎn)，
∴OB=OD，OA=$\frac{1}{2}$CD，
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴OA•OB=$\frac{1}{2}$CD•OD=$\frac{1}{2}$×4=2．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、圖象的平移、三角形中位線定理、一元二次方程根的判別式及數(shù)形結(jié)合思想等知識．在（1）中注意兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足每個函數(shù)解析式，在（2）中由條件得到關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中用C點(diǎn)的坐標(biāo)表示出OA和OB是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．