Question

12．如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點，OC平分∠AOB交AB于點C，點D為線段AB上一點，過點D作DE∥OC交y軸于點E，已知AO=m，BO=n，且m、n滿足n²-12n+36+|n-2m|=0．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若點D為AB中點，求OE的長；
（3）如圖2，若點P（x，-2x+6）為直線AB在x軸下方的一點，點E是y軸的正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角△PEF，使點F在第一象限，且F點的橫、縱坐標始終相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，得出方程（n-6）²=0，|n-2m|=0，求得m=3，n=6，即可得到A、B兩點的坐標；
（2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG=DF，連接BG，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)BG=BE列出關(guān)于x的方程，即可求得OE的長；
（3）分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N，設(shè)點E為（0，m），構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)F點的橫坐標與縱坐標相等，得出方程m+2x-6=m+x，解得：x=6，即可得到點P為（6，-6）．

解答 解：（1）∵n²-12n+36+|n-2m|=0，
∴（n-6）²+|n-2m|=0，
∵（n-6）²≥0，|n-2m|≥0，
∴（n-6）²=0，|n-2m|=0，
∴m=3，n=6，
∴點A為（3，0），點B為（0，6）；

（2）如圖，延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG=DF，連接BG，
設(shè)OE=x，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∵DE∥OC，
∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°，
∴OE=OF=x，
在△ADF和△BDG中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\∠ADF=∠BDG\\ DF=DG\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDG（SAS），
∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°，
∴∠G=∠BEG=45°
∴BG=BE=6-x
∴6-x=3+x，
解得：x=1.5，
∴OE=1.5；

（3）分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N，
設(shè)點E為（0，m），
∵點P的坐標為（x，-2x+6），
∴PN=x，EN=m+2x-6，
∵∠PEF=90°，
∴∠PEN+∠FEM=90°，
∵FM⊥y軸，
∴∠MFE+∠FEM=90°，
∴∠PEN=∠MFE，
在△EFM和△PEN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠MFE=∠PEN\\∠FME=∠PNE\\ EF=EP\end{array}\right.$，
∴△EFM≌△PEN（AAS），
∴ME=NP=x，F(xiàn)M=EN=m+2x-6，
∴點F為（m+2x-6，m+x），
∵F點的橫坐標與縱坐標相等，
∴m+2x-6=m+x，
解得：x=6，
∴點P為（6，-6）．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應邊相等進行計算求解．解題時注意方程思想的運用．