Question

10．如圖，一次函數y=-x+4的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k為常數，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點．
（1）求反比例函數的表達式及點B的坐標；
（2）結合圖象直接寫出不等式-x+4＞$\frac{k}{x}$的解集
（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標及△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）依據點A為直線和曲線的交點，代入函數解析式即可得出結論，同時聯立方程組即可求得B點的坐標；
（2）圖象在上面的y值大，聯系函數解析式即可直接得出不等式的解集；
（3）找B點關于x軸的對稱點C，連接AC與x軸交于P點，此點即使所求之點，依據兩點之間線段最短．

解答 解：（1）∵點A（1，a）是一次函數y=-x+4與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k為常數，且k≠0）的交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1+4}\\{a=k}\end{array}\right.$，
解得：a=k=3，
∴反比例函數的表達式y=$\frac{k}{x}$=$\frac{3}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得：A（1，3），B（3，1），
故反比例函數的表達式y=$\frac{k}{x}$=$\frac{3}{x}$（x≠0），B點坐標為（3，1）．
（2）有圖象知，當1＜x＜3時，直線圖象在曲線的上方，
故不等式-x+4＞$\frac{k}{x}$的解集為{x|1＜x＜3}．
（3）找B點關于x軸的對稱點C，連接AC交x軸于P點，如圖

由（2）可知C點坐標為（3，-1），
∵PC=PB，PB，PC同線，所以此時PA=PB最短，
設直線AC方程為y=bx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3=b+c}\\{-1=3b+c}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=5，
故直線AC方程為y=-2x+5，將y=0代入其中得：x=2.5，
故得出P點坐標為（2.5，0），
又∵A（1，3），B（3，1），
∴△PAB的面積為$\frac{1}{2}$×（3+1）×（3-1）-$\frac{1}{2}$×（3-0）×（2.5-1）-$\frac{1}{2}$（1-0）（3-2.5）=1.5，
滿足條件的P點坐標為（2.5，0），此時△PAB的面積面積為1.5．

點評 本題考查的曲線與直線交點的問題，解題關鍵在于點的坐標的靈活運用．