Question

3．如圖，Rt△ABC，∠B=90°，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)O，過點(diǎn)A作BC的平行線，與直線OE交于點(diǎn)D，若AB=4，BC=6，則AD的長為$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 直接利用勾股定理得出AC的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出EC的長，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．

解答 解：如圖所示：∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=4，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，
∴∠EOC=90°，AO=CO=$\sqrt{13}$，
又∵∠C=∠C，
∴△ACB∽△ECO，
∴$\frac{CO}{BC}$=$\frac{EC}{AC}$，
則$\frac{\sqrt{13}}{6}$=$\frac{EC}{2\sqrt{13}}$，
解得：EC=$\frac{13}{3}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C，
在△AOD和△COE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠C}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴EC=AD=$\frac{13}{3}$．
故答案為：$\frac{13}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確得出EC的長是解題關(guān)鍵．