Question

8．如圖矩形ABCD是一張標準紙，長BC=AD=$\sqrt{2}$，AB=CD=1，把△BCF沿CF對折使點B恰好落在邊AD上的點E處，再把△DCH沿CH對折使點D落在線段CE上的點G處．
（1）求證：△AEF≌△GHE；
（2）利用該圖形試求tan22.5°的值．

Answer 1

分析 根據折疊的性質得到CE=CB=$\sqrt{2}$，CG=CD=1，∠FEC=∠B=90°，∠HGC=∠HGE=∠D=90°，求得CE=$\sqrt{2}$CD，∠HGE=∠A=90°，根據三角函數的定義得到△EC是等腰直角三角形，得到AE=EG，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
  （2）根據等腰直角三角形的性質得到EG=HG=DH=$\sqrt{2}$-1，根據三角函數的定義即可得到結論．

解答 解：（1）∵BC=AD=$\sqrt{2}$，AB=CD=1，
∵把△BCF沿CF對折使點B恰好落在邊AD上的點E處，再把△DCH沿CH對折使點D落在線段CE上的點G處，
∴CE=CB=$\sqrt{2}$，CG=CD=1，∠FEC=∠B=90°，∠HGC=∠HGE=∠D=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，∠HGE=∠A=90°，
∴tan∠DEC=$\frac{CD}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，EG=EC-GC=$\sqrt{2}$-1，
∴∠DEC=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴DE=DC，∠AEF=∠DEC，
∴AE=AD-DE=$\sqrt{2}$-1，
∴AE=EG，
在△AEF與△GHE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EGH}\\{AE=EG}\\{∠AEF=∠GEH}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GHE； 
  （2）由（1）知∠DCH=∠GCH=$\frac{1}{2}×$45°=2.5°，DH=GH，△HEG是等腰直角三角形，
∴EG=HG=DH=$\sqrt{2}$-1，
∴tan∠DCH=tan22.5°=$\frac{DH}{CD}$=$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了翻折變換（折疊問題），全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，三角函數的定義，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．