Question

15．如圖，在坐標系中，線段OA在第一象限，OA=5，OA與x軸的夾角α的正切tanα=$\frac{3}{4}$，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）圖象經過點A，OA繞點O旋轉后落在反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上另一點B，點B與x軸距離是4．
（1）求點A的坐標和反比例函數的關系式．
（2）寫出點B的坐標，求直線AB的關系式y=ax+b．
（3）直接寫出當x＞0時，不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）由題意A、B關于直線y=x對稱，設A（m，n）則B（n，m），由題意$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{\frac{n}{m}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$，求出點A的坐標，即可解決問題．
（2）求出A、B兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（3）利用圖象，直線y=kx+b的圖象在反比例函數圖象的上方，由此即可寫出自變量的取值范圍．

解答 解：（1）根據對稱性，反比例函數關于直線y=x對稱，
∵OA=OB，A、B在反比例函數圖象上，
∴A、B關于直線y=x對稱，設A（m，n）則B（n，m），
由題意$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{\frac{n}{m}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴A（4，3），B（3，4），
∴k=12，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{12}{x}$．

（2）由（1）可知A（4，3），B（3，4），則有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+7．

（3）由圖象可知，當x＞0時，不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解集為3＜x＜4．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的應用，待定系數法、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，本題的突破點是發現A、B關于直線y=x對稱，屬于中考常考題型．