Question

19．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．P為四邊形ABCD邊上的任意一點，當∠BPC=30°時，CP的長為2或2$\sqrt{3}$或4．

Answer 1

分析 如圖，連接AC．首先證明△ACD是等邊三角形，分三種情形討論即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC．

∵BC∥AD，∠DCB=120°，
∴∠D+∠DCB=180°，
∴∠D=60°，
∵DC=DA，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠BAC=30°，
∴當P₃與A重合時，∠BP₃C=30°，此時CP₃=4，
作CP₂⊥AD于P₂，則四邊形BCP₂A是矩形，
易知∠CP₂B=30°，此時CP₂=2$\sqrt{3}$，
當CB=CP₁時，∠CP₁B=∠CBP₁=30°，此時CP₁=2，
綜上所述，CP的長為2或2$\sqrt{3}$或4．
故答案為2或2$\sqrt{3}$或4．

點評 本題考查等邊三角形的判定、矩形的判定、30度的直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．