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19.如圖,正方形ABCD邊長為8,M、N分別是BC、CD上的兩個動點,當M點在BC上運動時,始終保持AM和MN垂直,設BM=x,梯形ABCN的面積為y.
(1)求證:△ABM∽△MCN;
(2)求y與x之間的函數關系式;
(3)當M點運動到什么位置時,梯形ABCN面積最大,最大面積是多少?

分析 (1)由四邊形ABCD為正方形,得到一對直角相等,再由AM垂直于MN,得到∠AMN為直角,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用兩對角相等的三角形相似即可得證;
(2)由(1)得出的相似三角形,可得對應邊成比例,根據BM=x與AB=8,表示出CN,由CN為上底,AB為下底,BC為高,利用梯形的面積公式列出y與x的函數關系式;
(3)利用二次函數的性質確定出梯形ABCN面積最大時M的位置,并求出最大面積即可.

解答 (1)證明:在正方形ABCD中,∠B=∠C=90°,
∵AM⊥MN,
∴∠AMN=90°,
∴∠CMN+∠AMB=90°.
在Rt△ABM中,∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠BAM=∠CMN,
∴Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)解:∵Rt△ABM∽Rt△MCN,
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$,即$\frac{8}{8-x}$=$\frac{x}{CN}$,
解得,CN=$\frac{8x-{x}^{2}}{8}$,
∴y=S梯形ABCN=$\frac{1}{2}$×($\frac{8x-{x}^{2}}{8}$+8)×8=-$\frac{1}{2}$x2+4x+32;
(3)解:y=-$\frac{1}{2}$x2+4x+32=-$\frac{1}{2}$(x-4)2+40,
答:當BM=4,即M點運動到BC的中點時,梯形ABCN面積最大,最大面積是40.

點評 此題屬于相似形綜合題,涉及的知識有:相似三角形的判定與性質,二次函數的性質,梯形的面積求法,以及正方形的性質,熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

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