Question

18．已知點P是正方形ABCD所在平面內一點，且△PCD為正三角形，則△APB的度數是（　　）

• A． 30°
• B． 150°
• C． 15°或150°
• D． 30°或150°

Answer 1

分析 分兩種情況：
①當點P在正方形ABCD的內部時，如圖1，先根據△PCD為正三角形，得∠DPC=60°，再由等腰三角形的性質求∠APD=∠BPC=75°，最后利用周角360°求差得出∠APB的度數；
②當點P在正方形ABCD的外部時，如圖2，同理可得∠APB=30°．

解答 解：分兩種情況：
①當點P在正方形ABCD的內部時，如圖1，
∵△PCD為正三角形，
∴∠DPC=∠PDC=∠PCD=60°，PD=DC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC，
∴∠ADP=90°-60°=30°，AD=PD，
∴∠DAP=∠APD=$\frac{180-30}{2}$=75°，
同理得：∠BPC=75°，
∴∠APB=360°-∠APD-∠BPC-∠DPC=360°-75°-75°-60°=150°；
②當點P在正方形ABCD的外部時，如圖2，
同理得：∠DPC=60°，
∵∠ADP=90°+60°=150°，
∵AD=PD，
∴∠DAP=∠DPA=15°，
同理∠BPC=15°，
∴∠APB=∠DPC-∠DPA-∠BPC=60°-15°-15°=30°，
綜上所述，∠APB的度數是30°或150°；
故選D．

點評 本題考查了正方形的性質、等腰三角形、等邊三角形的性質，熟知等邊三角形各邊都相等，且每一個角都是60°，明確等邊對等角，利用三角形的內角和依次求出各角的度數；注意點P的不確定性，分兩種情況畫圖，得出結論．