Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0）兩點（x₂＜0＜x₁），與y軸正半軸交于點C．已知OA：OB=1：3，OB=OC，△ABC的面積S_△ABC=6．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的函數表達式；
（2）設E是y軸左側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為2$\sqrt{2}$？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設OA=x，則OB=OC=3x，依據三角形的面積公式可求得x=1，則A（1，0），B（-3，0），C（0，3），設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將C（0，3）代入求得a的值即可；
（2）當點E在x軸的上方時．設E（x，-x²-2x+3）依據拋物線的對稱性可求得F（-2-x，-x²-2x+3），然后用含x的式子可表示出EH和EF的長，然后依據EF=EH列方程求解即可；當點E在x軸的下方時，EH=|-x²-2x+3|=x²+2x-3．然后由EH=EF列方程求解即可；
（3）當點M在BC的下方時．過點M作直線MD∥BC，交y軸與D，過點D作DE⊥BC，垂足為E．先證明△DCE為等腰直角三角形，然后求得DC的長，從而得到點D的坐標，故此可得到MD的解析式，然后求得直線MD與拋物線的交點坐標即可；當點M在BC的上方時，同理可知CD=4，然后求得直線MD與拋物線的交點坐標即可．

解答 解：（1）設OA=x，則OB=OC=3x．
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$AB•OC=6，即$\frac{1}{2}$×4x×3x=6，解得x=1．
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3）．
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將C（0，3），代入得：-3a=3，解得a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）如圖1所示：當點E在x軸的上方時．

設E（x，-x²-2x+3）．
∵拋物線的對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=-1，E（x，-x²-2x+3），
∴F（-2-x，-x²-2x+3）．
∴EF=-2-2x．
∵四邊形EFGH為正方形，
∴EH=EF，即-x²-2x+3=-2-2x，解得：x₁=-$\sqrt{5}$，x₂=$\sqrt{5}$（舍去）．
當點E在x軸的下方時，EH=|-x²-2x+3|=x²+2x-3．
由EH=EF得：x²+2x-3=-2-2x，解得：x=-2-$\sqrt{5}$或x=-2+$\sqrt{5}$（舍去）．
當x=-$\sqrt{5}$時，EF=-2-2×（-$\sqrt{5}$）=2$\sqrt{5}$-2．
當x=-2-$\sqrt{5}$時，EF=-2-2×（-2-$\sqrt{5}$）=2$\sqrt{5}$+2．
∴正方形的邊長為2$\sqrt{5}$-2或2$\sqrt{5}$+2．
（3）如圖2所示：當點M在BC的下方時，過點M作直線MD∥BC，交y軸與D，過點D作DE⊥BC，垂足為E．

由平移的性質可知BC∥MD．
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°．
又∵∠DEC=90°，
∴CD=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．
∴D（0，-1）．
∴直線DM的解析式為y=x-1．
將y=x-1與y=-x²-2x+3聯立，解得：x=1或x=-4，
∴點M的坐標為（-4，-5）或（1，0）．
當點M在BC的上方時，同理可知CD=4，
∴點D的坐標為（0，7），
∴直線MD的解析式為y=x+7．
將y=x+7與y=-x²-2x+3聯立，方程組無解．
綜上所述點M的坐標為（-4，-5）或（1，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積公式，正方形的性質等知識，用含x的式子表示出EF和EH的長度是解答問題（2）的關鍵；求得點D的坐標是解答問題（3）的關鍵．