Question

19．如圖所示，數軸上依次有三點A，O，B，點A位于原點O的左側且相距40個單位長度，BO=30個單位長度，點P從A點出發以3個單位長度/秒的速度勻速向B點運動，點Q從B點出發，以a 個單位長度/秒的速度勻速向A點運動，兩點同時出發（P、Q只在線段AB上運動）．若BO表示點O與點B之間的距離，PO表示點P與點O之間的距離，QO表示點Q與點O之間的距離．
（1）2秒后點P與點Q的距離為|64-2a|；（用含a的代數式表示）
（2）當a=2時，求經過多少秒后PO=QO；
（3）當a=$\frac{9}{4}$且t≠$\frac{40}{3}$時，$\frac{PO}{QO}$的值隨時間t的變化而改變嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先表示出2秒后P、Q兩點所表示的數，再根據兩點間的距離公式可得；
（2）設t秒后，PO=QO，表示出a=2時，P、Q兩點所表示的數，繼而由PO=QO列出關于t的方程，解之可得；
（3）表示出a=$\frac{9}{4}$且t≠$\frac{40}{3}$時PO、QO的長，由$\frac{PO}{QO}=\frac{|-40+3t|}{|30-\frac{9}{4}t|}$=$\frac{|3t-40|}{|-\frac{3}{4}|•|3t-40|}$=$\frac{4}{3}$可得答案．

解答 解：（1）2秒后點P表示數-40+2×3=-34，點Q表示數30-2a，
則PQ=|30-2a-（-34）|=|64-2a|，
故答案為：|64-2a|；

（2）設t秒后，PO=QO，
當a=2時，點P表示數-40+3t，點Q表示30-2t，
根據題意知，|-40+3t|=|30-2t|，
解得：t=14或t=10，
答：經過10秒或14秒后PO=QO；

（3）當a=$\frac{9}{4}$時，點P表示數-40+3t，點Q表示數30-$\frac{9}{4}$t，
則PO=|-40+3t|、QO=|30-$\frac{9}{4}$t|，
∵t≠$\frac{40}{3}$，
∴$\frac{PO}{QO}=\frac{|-40+3t|}{|30-\frac{9}{4}t|}$=$\frac{|3t-40|}{|-\frac{3}{4}|•|3t-40|}$=$\frac{4}{3}$，
故當a=$\frac{9}{4}$且t≠$\frac{40}{3}$時，$\frac{PO}{QO}$的值不隨時間t的變化而改變．

點評 本題主要考查數軸、兩點間的距離公式及一元一次方程的應用，根據兩點間的距離公式表示出所需線段的長度是解題的關鍵．