Question

13．如圖，拋物線y=（1-m）x²+4x-3的開口向下，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，其中x₁≤x₂
（1）求m的取值范圍；
（2）當x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10時，求拋物線的解析式：
（3）點C為拋物線的頂點，當△ABC為等腰直角形時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以得到關于m的不等式組，從而可以求得m的取值范圍；
（2）根據x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10和根與系數的關系可以得到m的值，從而可以求得此拋物線的解析式；
（3）根據等腰直角三角形的性質，可以得到m的值，從而可以求得相應的拋物線的解析式．

解答 解：（1）∵拋物線y=（1-m）x²+4x-3的開口向下，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，其中x₁≤x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜0}\\{{4}^{2}-4×（1-m）×（-3）≥0}\end{array}\right.$，
解得，1＜m$≤\frac{7}{3}$，
即m的取值范圍是：1＜m$≤\frac{7}{3}$；
（2）∵（1-m）x²+4x-3=0時，兩根為x₁，x₂，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{1-m}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-3}{1-m}$，
∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=10，
即$（-\frac{4}{1-m}）^{2}-2×\frac{-3}{1-m}$=10，
解得，${m}_{1}=-\frac{5}{3}$（舍去），m₂=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x-3；
（3）∵點C為拋物線的頂點，△ABC為等腰直角形，
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}=\frac{4（1-m）×（-3）-{4}^{2}}{4×（1-m）}$，
∵$（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}$，
即$（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}=（-\frac{4}{1-m}）^{2}-4×\frac{-3}{1-m}$，
∴${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{2\sqrt{7-3m}}{m-1}$，
∴$\frac{\sqrt{7-3m}}{m-1}=\frac{4（1-m）×（-3）-{4}^{2}}{4×（1-m）}$，
解得，${m}_{1}=\frac{7}{3}$，m₂=1（舍去），
∴m=$\frac{7}{3}$，
∴拋物線的解析式為：y=$（1-\frac{7}{3}）{x}^{2}+4x-3$=$-\frac{4}{3}{x}^{2}+4x-3$，
即拋物線的解析式為：y=$-\frac{4}{3}{x}^{2}+4x-3$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、用待定系數法求二次函數解析式、等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，明確二次函數的性質．