Question

11．如圖，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與A點(diǎn)重合，折痕為EF．
（1）判斷四邊形AFCE的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）若AB=4，BC=8，求折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)，即可證得△AEO≌△CFO，繼而證得AE=CE=CF=AF，繼而可證得：四邊形AFCE是菱形；
（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，由勾股定理先求出AC的長(zhǎng)度，根據(jù)折疊的性質(zhì)可判斷出RT△EOC∽R(shí)T△ABC，從而利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出OE，再由EF=2OE可得出EF的長(zhǎng)度．

解答 解：四邊形AFCE是菱形，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折疊的性質(zhì)可得：OA=OC，AE=CE，AF=CF，
在△OAE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四邊形AFCE是菱形；
（2）解：連接AC交EF于點(diǎn)O，
由勾股定理知AC=4$\sqrt{5}$，
又∵折疊矩形使C與A重合時(shí)有EF⊥AC，
則RT△EOC∽R(shí)T△ABC，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$，
故EF=2OE=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了翻折變換、勾股定理，菱形的判定，矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．