Question

2．如圖，點E，F分別在線段AC，BC上運動（不與端點重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心，證明C，E，O，F四點共圓．

Answer 1

分析 根據外心的性質可知OA=OB=OC，則∠OCB=∠OBC，又AC=BC，由等腰三角形的對稱性，得∠OCB=∠OCA，再根據已知條件證明△ECO≌△FBO，可得∠EOC=∠FOB，OE=OF，比較等腰△OEF與等腰△OBC的頂角，可得底角∠OFE=∠OBC=∠OCE，可證C，E，O，F四點共圓．

解答 證明：如圖，連接OB、OC、OE、OF．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
又∵AC=BC，
∴∠OCB=∠OCA，
∴∠OBC=∠OCA，
在△ECO與△FBO中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠ECO=∠FBO}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ECO≌△FBO（SAS），
∴∠EOC=∠FOB，又∠AOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠COB，
又∵EO=OF，
∴∠OEF=∠OCF，
∴C，E，O，F四點共圓．

點評 本題考查了四點共圓，全等三角形的判定與性質，外心的性質．關鍵是構造到圓內接四邊形中相等的角，證明四點共圓．