Question

16．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖（1），小明在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出了兩個(gè)一次函數(shù)y=x+1和y=x-1的圖象，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)：∠1=∠2（填數(shù)量關(guān)系）則l₁∥l₂（填位置關(guān)系），從而二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=x-1\end{array}\right.$無解．
（2）問題探究：小明發(fā)現(xiàn)對(duì)于一次函數(shù)y=k₁x+b₁與y=k₂x+b₂（b₁≠b₂），設(shè)它們的圖象分別是l₁和l₂（如備用圖1）
①如果k₁=k₂（填數(shù)量關(guān)系），那么l₁∥l₂（填位置關(guān)系）；
②反過來，將①中命題的結(jié)論作為條件，條件作為結(jié)論，所得命題可表述為如果l₁∥l₂，那么k₁=k₂，，請(qǐng)判斷此命題的真假或舉出反例；
（3）問題解決：若關(guān)于x，y的二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{a_1}x+{b_1}y={c_1}\\{a_2}x+{b_2}y={c_2}\end{array}\right.$（各項(xiàng)系數(shù)均不為0）無解，那么各項(xiàng)系數(shù)a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂應(yīng)滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）分別證明△AOB和△COD是等腰直角三角形，則∠1=∠2=45°，所以l₁∥l₂；
（2）①證明△AOP≌△BFQ，即可得出結(jié)論；
②同理證明△AOP≌△BFQ，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)方程組表示出直線的解析式，根據(jù)方程組無解，可知兩直線平行，則根據(jù)當(dāng)b₁≠b₂，k₁=k₂，列式可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖（1），y=x+1中，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，
∴A（0，1），B（-1，0），
∴OA=OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴∠1=45°，
同理求得∠2=45°，
∴∠1=∠2，
∴l(xiāng)₁∥l₂，
故答案為：=，∥；
（2）①當(dāng)k₁=k₂時(shí)，如備用圖1，
過P作PQ∥x軸，交l₂于Q，過Q作QF⊥x軸于F，
∴OP=QF，
當(dāng)y=0時(shí)，k₁x+b₁=0，x=-$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$，
∴OA=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=b₁，
∴P（0，b₁），
∵PQ∥x軸，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等，
當(dāng)y=b₁時(shí)，b₁=k₂x+b₂，x=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
∴OF=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
在y=k₂x+b₂中，當(dāng)y=0時(shí)，0=k₂x+b₂，x=-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
∴OB=-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$，
∴BF=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$-（-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$）=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{2}}$，
∵k₁=k₂，
∴OA=BF，
∵∠AOP=∠BFQ=90°，
∴△AOP≌△BFQ，
∴∠1=∠2，
∴l(xiāng)₁∥l₂；
則當(dāng)k₁=k₂時(shí)，l₁∥l₂；
∴故答案為：=，∥；
②將①中命題的結(jié)論作為條件，條件作為結(jié)論，所得命題可表述為：
如果l₁∥l₂，那么k₁=k₂，此命題為真命題；
理由是：∵l₁∥l₂，
∴∠1=∠2，
∵∠AOP=∠BFQ=90°，OP=FQ，
∴△AOP≌△BFQ，
∴OA=BF，
同理可得：OA=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$，BF=$\frac{{b}_{1}-{b}_{2}}{{k}_{2}}$-（-$\frac{{b}_{2}}{{k}_{2}}$）=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{2}}$，
∴$\frac{{b}_{1}}{{k}_{1}}$=$\frac{{b}_{1}}{{k}_{2}}$，
∵b₁≠b₂，
∴k₁=k₂；
③由a₁x+b₁y=c₁得：y=-$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}x+\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$，
由a₂x+b₂y=c₂得：y=-$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}x+\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$，
∵方程組$\left\{\begin{array}{l}{a_1}x+{b_1}y={c_1}\\{a_2}x+{b_2}y={c_2}\end{array}\right.$無解，
∴直線y=-$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}x+\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$和直線y=-$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}x+\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$平行，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}=-\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}}\\{\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}≠\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}}\end{array}\right.$，
則$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，兩直線平行時(shí)比例系數(shù)滿足的關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，考查了閱讀理解的能力，熟練掌握求一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．