Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，放置一直角三角形OAB，頂點坐標為A（0，-2），O（0，0）∠OAB=90°，∠AOB=30°，將此三角形繞原點O逆時針旋轉60°，得到△OCD．若一拋物線恰好經過O、C、D三點，與OB相交于點E．
（1）求C、D兩點的坐標及拋物線的解析式；
（2）連接CE，求四邊形OEC D 的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使O、E、P三點構成直角三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先依據特殊銳角三角函數值求得OB的長，依據旋轉的性質可得到CO和OD的長，然后利用特殊銳角三角函數值可求得點C的坐標，然后將點C和點D的坐標代入拋物線的解析式可求得拋物線的解析式；
（2）先求得直線OB的解析式，然后將y=-$\sqrt{3}$x與y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x聯立，可求得點E的坐標，然后依據梯形的面積公式可求得OECD的面積；
（3）當∠POE=90°時，可先求得OP的解析式，然后可求得點P的坐標，當∠P′EO=90°，先求得EP′的解析式可求得點P′的坐標，由OP≥OF≥OE，可知∠OPE≠90°．

解答 解：（1）∵A（0，-2），O（0，0），
∴OA=2．
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，OA=2，
∴OB=OA÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
由旋轉的性質可知：OD=OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OC=OA=2，∠AOB=∠COD=30°．
∴D（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），點C的橫坐標=cos30°•OC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，點C的縱坐標=sin30°•OC=1．
∴C（$\sqrt{3}$，-1）．
設拋物線的解析式為y=ax（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），將點C的坐標代入得：$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）a=-1，解得：a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x．

（2）∵∠AOB=30°，且OB經過二四象限，
∴k=-$\sqrt{3}$．
∴直線OB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x．
將y=-$\sqrt{3}$x與y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x聯立，解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y=-1．
∴點E的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1）．
∴CE∥x軸．
∵EC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，梯形的高=1，
∴四邊形OECD 的面積=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）×1=$\sqrt{3}$．

（3）如圖1所示：

∵OE⊥OP，OE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x，
∴直線OP的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由拋物線的對稱軸方程可知x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
將x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入拋物線的解析式得：y=$\frac{2}{3}$，
∴點P的坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
設直線EP′的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，將點E的坐標代入得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+b=-1，解得b=-$\frac{4}{3}$．
∴直線EP′的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
將x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入得：y=-$\frac{2}{3}$．
∴點P′的坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．
∵OP≥OF≥OE，
∴∠OPE≠90°．
綜上所述，點P的坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的圖象和性質、旋轉的性質、特殊銳角三角函數值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．