Question

19．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．
（1）若AB=5，CF=3，求DE的長；
（2）求證：AB=CF+DG．

Answer 1

分析 （1）AE平分∠BAD，則∠BAE=∠DAE；AB∥CD，則∠BAE=∠DEA，從而有∠DAE=∠DEA，所以，DE=DA，由勾股定理求出DF，得出AD，即可求出DE的長；
（2）結(jié)論：AB=DG+FC；將△CDF平移到△ABH的位置，將△ADG順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AHI的位置，證明∠I=∠AGD=∠GAH=∠BAI，進(jìn)一步得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB∥DC．CD=AB=5，
∴∠BAE=∠DEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠DEA=∠DAE．
∴AD=DE．
∵DF⊥BC，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AD=DF=4，
∴DE=4；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°，
把△DFC沿射線DA方向平移，平移距離為AD，則DC與AB重合，記平移后的三角形為△ABH，如圖所示：
則∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，
∴F，B，H三點(diǎn)共線，
∴BF+HB=BF+FC，從而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四邊形AHFD為正方形．
∴∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，
∴I，H，B三點(diǎn)共線．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，
∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∵IB=IH+HB=DG+FC，
∴AB=CF+DG．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判斷，用平移，旋轉(zhuǎn)的方法證明問題的能力．