Question

9．如圖，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D為CA的中點，P為$\widehat{BC}$上一動點（不與C，B重合），則2PD+PB的最小值為（　　）

• A． 4+2$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{7}$
• C． 10
• D． 4$\sqrt{3}$+4

Answer 1

分析 如圖，作∥∠PAP′=120°，則AP′=2AB=8，連接PP′，BP′，則∠1=∠2，推出△APD∽△ABP′，得到BP′=2PD，于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′，根據勾股定理得到PP′=$\sqrt{（2+8）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，求得2PD+PB≥4$\sqrt{7}$，于是得到結論．

解答 如圖，作∥∠PAP′=120°，
則AP′=2AB=8，連接PP′，BP′，
則∠1=∠2，
∵$\frac{AP′}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$=2，
∴△APD∽△ABP′，
∴BP′=2PD，
∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′，
∴PP′=$\sqrt{（2+8）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，∴2PD+PB≥4$\sqrt{7}$，
∴2PD+PB的最小值為4$\sqrt{7}$，
故選B．

點評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．