Question

18．已知兩個正數x，y滿足x+y=7，則$\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值為$\sqrt{74}$．此時x的值為$\frac{14}{5}$．（提示：若借助網格或坐標系，就可以從數形結合的角度來看$\sqrt{{x}^{2}+4}$，例如可以把$\sqrt{{3}^{2}+4}$看做邊長為3和4的直角三角形的斜邊）

Answer 1

分析 先作圖構建兩個直角三角形：△ACP和△BDP，并作點C關于AB的對稱點C′，根據兩點之間，線段最短可知$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值就是線段C′D的長，并根據平行相似求出x的值．

解答 解：：如圖所示：AB=7，過A、B兩點分別作AB的垂線AC和BD，且AC=2，BD=3．作點C關于AB的對稱點C′，連接C′D交AB于P，連接CP，CP=C′P．

設AP=x，BP=y，則y=7-x，
由勾股定理得：CP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，PD=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，
則此時DC′=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的值最小，
∴C′D=C′P+DP=CP+DP=$\sqrt{{7}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{74}$．
∵AC′⊥AB，BD⊥AB，
∴AC′∥BD，
∴△APC′∽△BPD，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AC′}{BD′}$，
∴$\frac{x}{7-x}$=$\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{14}{5}$，
故答案為：$\sqrt{74}$；$\frac{14}{5}$．

點評 本題是軸對稱的最短路徑問題，具體作法是：作某一點的對稱點，與另一點相連，所構成的線段長就是最短距離，通常利用勾股定理即可求出．