Question

7．如圖，在平面內直角坐標系中，直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x軸于點A，交y軸于點B，點A₁，A₂，A₃，…在x軸上，點B₁、B₂、B₃，…在直線l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均為等邊三角形，則OA_n的長是（　　）

• A． 2ⁿ$\sqrt{3}$
• B． （2ⁿ+1）$\sqrt{3}$
• C． （2^n-1-1）$\sqrt{3}$
• D． （2ⁿ-1）$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據一次函數圖象上點的坐標可得出點A的坐標，由一次函數的解析式可得出∠BOA=30°，結合等邊三角形的性質即可得出∠AB₁O=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=…=30°，進而即可得出OA₁、OA₂、OA₃、OA₄的長度，再根據邊的變化找出變化規律“OA_n=（2ⁿ-1）OA=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$”，此題得解．

解答 解：∵直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x軸于點A，交y軸于點B，
∴∠BOA=30°，點A（-$\sqrt{3}$，0）．
∵△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均為等邊三角形，
∴∠AB₁O=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=…=30°，
∴OA₁=OA，OA₂=OA₁+AA₁=3OA，OA₃=OA₂+AA₂=7OA，OA₄=OA₃+AA₃=15OA，…，
∴OA_n=（2ⁿ-1）OA=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$．
故選D．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、等邊三角形的性質以及規律型中數的變化類，根據邊的變化找出變化規律“OA_n=（2ⁿ-1）OA=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$”是解題的關鍵．