Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD⊥AE交AE于點G，交AB于點D，DF∥BE交AC于點F．求證：DC平分∠FDE．

Answer 1

分析 首先證明AD=AC，推出AE垂直平分線段CD，推出DE=EC，推出∠EDC=∠DCE，由DF∥BC，推出∠FDC=∠DCE，推出∠FDC=∠EDC即可證明．

解答 證明：∵AE⊥CD，
∴∠AGD=∠AGC=90°，
∴∠DAG+∠ADG=90°，∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠DAG=∠CAG，
∴∠ADG=∠ACG，
∴AD=AC，
∴DG=GC，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠DCE，
∵DF∥BC，
∴∠FDC=∠DCE，
∴∠FDC=∠EDC，
∴CD平分∠FDE．

點評 本題考查直角三角形的性質．角平分線的定義、線段的垂直平分線的判定和性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是判斷AE是線段CD的垂直平分線，屬于中考常考題型．