Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，AB=AD．
（1）求證：AC=DE；
（2）若AC=4BC，CD=5，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由余角的性質(zhì)得到∠B=∠DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AE，根據(jù)勾股定理得到BC=1，CE=3，AC=DE=4，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，
∴∠B+∠BAC=∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠B=∠DAE，
在△ABC與△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADE}\\{∠ACB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE，
∴AC=DE；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴BC=AE，
∵AC=4BC，
∴CE=3BC，
∵DE²+CE²=CD²，
即（4BC）²+（3BC）²=5²，
∴BC=1，CE=3，AC=DE=4，
∴四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ADE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×3×4=10．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握全等三角形的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．