Question

1．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC對折，使△ABC落在△ACE的位置，且CE與AD相交于點F，連結ED，若AB=$\sqrt{3}$，BC=3．
（1）求證：AF=FC；
（2）求EF的長；
（3）求ED的長．

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質以及折疊的性質可以證明∠DAC=∠ACE，然后根據等角對等邊即可證得；
（2）設CF=x，則DF=3-x，CF=AF=x，在直角△CDF中根據勾股定理即可列方程求得CF的長，于是得到結論；
（3）過E作EG⊥AD于G，則EG∥CD，根據相似三角形的性質得到EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{1}{2}$，得到DG=$\frac{3}{2}$，根據勾股定理即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠ACE，
又∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=CF；
（2）解：設CF=x，則CF=AF=x，DF=3-x，
在直角△CDF中，CF²=CD²+DF²，即x²=（$\sqrt{3}$）²+（3-x）²，
解得：x=2，
即CF=2，
∴EF=3-2=1；
（3）解：過E作EG⊥AD于G，
則EG∥CD，
∴△EFG∽△CFD，
∴$\frac{GE}{CD}=\frac{GF}{DF}=\frac{EF}{CF}$，
即$\frac{EG}{\sqrt{3}}$=$\frac{GF}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{1}{2}$，
∴DG=$\frac{3}{2}$，
∴ED=$\sqrt{E{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圖形的折疊，同時考查了等腰三角形的判定方法，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析，難度不大．