Question

19．△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=4，在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形稱為第1次剪取；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取（如圖2）；繼續操作下去…；第64次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和是$\frac{1}{{2}^{63}}$．

Answer 1

分析 根據題意，可求得S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1，同理可得規律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和，根據此規律求解即可答案．

解答 解：∵四邊形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，
∵AC=BC=2，
∴DE=DF=1，
∴S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1；
同理：S₂即是第二次剪取后剩余三角形面積和，
S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和，
∴第一次剪取后剩余三角形面積和為：2-S₁=1=S₁，
第二次剪取后剩余三角形面積和為：S₁-S₂=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$=S₂，
第三次剪取后剩余三角形面積和為：S₂-S₃=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$=S₃，
…
第n次剪取后剩余三角形面積和為：S_n-1-S_n=S_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故第64次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和是：$\frac{1}{{2}^{63}}$．
故答案為：$\frac{1}{{2}^{63}}$．

點評 此題考查了正方形與等腰直角三角形的性質．此題難度較大，屬于規律性題目，找到規律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和是解此題的關鍵．