Question

14．設a＜-1，0≤x≤-a-1，且函數y=x²+ax的最小值為-$\frac{1}{2}$，則常數a=-$\frac{3}{2}$或-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據已知條件得到拋物線y=x²+ax與x軸的交點為（0，0），（-a，0），求得-a＞1，拋物線y=x²+ax的對稱軸為直線x=-$\frac{a}{2}$，當-$\frac{a}{2}$＞1時，求得a=-$\frac{3}{2}$；當-$\frac{a}{2}$＜1時，求得a=-2$\sqrt{2}$．

解答 解：令y=0，則x²+ax=0，
解得：x=0或-a，
∴拋物線y=x²+ax與x軸的交點為（0，0），（-a，0），
∵a＜-1，
∴-a＞1，
∵拋物線y=x²+ax的對稱軸為直線x=-$\frac{a}{2}$，
∴當-$\frac{a}{2}$＞1時，
即當x=1時，函數y=x²+ax有最小值，
∴1+a=-$\frac{1}{2}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$；
當-$\frac{a}{2}$＜1時，
即當x=-$\frac{a}{2}$時，函數y=x²+ax有最小值，
∴-$\frac{{a}^{2}}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a=±2$\sqrt{2}$；
∵a＜-1，
∴a=-2$\sqrt{2}$，
綜上所述：常數a=-$\frac{3}{2}$或-2$\sqrt{2}$，
故答案為：-$\frac{3}{2}$或-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查二次函數的最值，掌握二次函數的單調性是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用．