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3.已知△ABC為等邊三角形,點D為直線BC上一動點(點D不與點B,C重合),以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE.

(1)如圖1,當點D在邊BC上時.求證BC=DC+CE;
(2)如圖2,當點D在邊BC的延長線上時,其他條件不變,請寫出BC,DC,CE之間存在的數量關系,并證明你的結論.

分析 (1)根據等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE,進而就可以得出△ABD≌△ACE,根據全等三角形的性質即可得到BC=DC+CE;
(2)由等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE,進而就可以得出△ABD≌△ACE,就可以得出BC+CD=CE.

解答 解:(1)∵△ABC和△ADE是等邊三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
∵BC=BD+CD,
∴BC=CE+CD.

(2)BC+CD=CE.
∵△ABC和△ADE是等邊三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD,
∴CE=BC+CD.

點評 本題考查了等邊三角形的性質的運用,等式的性質的運用,全等三角形的判定及性質的運用,解答時證明三角形全等是關鍵.

練習冊系列答案
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