Question

3．已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合），以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時．求證BC=DC+CE；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC，DC，CE之間存在的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質即可得到BC=DC+CE；
（2）由等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．

（2）BC+CD=CE．
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD．

點評 本題考查了等邊三角形的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．