Question

18．菱形ABCD中，∠B=60°，∠MAN=60°，射線AM交直線BC于點(diǎn)E，射線AN交直線CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF，請(qǐng)解答下列問題：
（1）如圖1，求證：EC+FC=AC；
（2）將∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，如圖3，請(qǐng)直接寫出線段EC，F(xiàn)C，AC之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；
（3）若S_菱形ABCD=18$\sqrt{3}$，∠CAE=30°，則CF=3或12．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABC為等邊三角形，然后再證明△ABE≌△ACF，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知BE=CF，然后通過等量代換可得到EC+CF=AC；
（2）圖2可先證明△ABC為等邊三角形，然后再證明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性質(zhì)可得到BE=CF，然后通過等量代換可得到AC+CF=EC；圖3可證明△ACE≌△ADF，從而得到CE=DF，通過等量代換可得到CF=AC+CE；
（3）圖1中，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AE⊥BC，BE=CE，然后可求得AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，依據(jù)菱形的面積公式可求得AB=6．，從而得到BE=EC=3，由（2）可知CF=BE，從而可求得CF的長(zhǎng)，圖3在Rt△ABE中，可求得BE=12，然后由CF=BE可求得CF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵四邊形ABCD為菱形，∠B=60°
∴AB=BC，∠ACF=∠B=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
∴AC=BC=AB，∠BAC=60°．
又∵∠MAN=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
∴EC+CF=EC+BE=BC．
又∵BC=AC，
∴EC+CF=AC．

（2）如圖2所示：AC+CF=EC．

∵四邊形ABCD為菱形，∠B=60°
∴AB=BC，∠ACD=∠B=60°．
∴∠ACF=120°．
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形．
∴AC=BC=AB，∠ABC=60°．
∴∠ABE=120°．
∴∠ABE=∠ACF．
∵∠MAN=∠BAC=60°
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
∴FC+BC=BE+BC=CE．
∵BC=AC，
∴FC+AC=CE．
如圖3所示：
又∵BC=AC，
∴EC+CF=AC．
如圖3所示：CF=AC+CE．

在△ACE和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DAF}\\{AC=AD}\\{∠ACE=∠ADF=120°}\end{array}\right.$，
△ACE≌△ADF（ASA）．
∴CE=DF．
∴CF=CD+DF=CD+CE=AC+CE，即CF=AC+CE．
（3）如圖1所示：
∵∠CAE=30°，∠CAB=60°，
∴AE平分∠CAB．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，BE=CE．
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．
∵S_菱形ABCD=18$\sqrt{3}$，
∴AB•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=18$\sqrt{3}$．
∴AB=6．
∴BE=EC=3．
∴CF=3．
如圖3所示：
∵∠CAE=30°，∠BAC=60°，
∴∠BAE=90°．
又∵AB=6，∠B=60°，
∴BE=12．
∴CF=AC+CE=BC+CE=12．
綜上所述，CF=3或CF=12．
故答案為：3或12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，找出圖中全等的三角形是解題的關(guān)鍵．