Question

10．如圖，點E是菱形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且∠EAG=∠BAD，連接EC，CD．
（1）求證：△AEB≌△AGD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=$\sqrt{3}$，求GD的長．

Answer 1

分析 （1）利用相似多邊形的對應角相等和菱形的四邊相等證得三角形全等；
（2）連接BD交AC于點P，則BP⊥AC，根據∠DAB=60°得到BP=$\frac{1}{2}$AB=1，然后求得EP=2 $\sqrt{3}$，最后利用勾股定理求得EB的長即可求得線段GD的長即可；

解答 （1）證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，

（2）解：連接BD交AC于點P，則BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=$\frac{1}{2}$AB=1，
AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{3}$，AE=AG=$\sqrt{3}$，
∴EP=2 $\sqrt{3}$，
∴EB=$\sqrt{E{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴GD=$\sqrt{13}$．

點評 本題考查菱形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形并且進行證明，屬于中考常考題型．