Question

2．若x²-4x-1=0，試求x-$\frac{1}{x}$，x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊除以x可得到x-$\frac{1}{x}$=4，再利用完全平方公式變形得到x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²+2，然后利用整體代入的方法計算，然后把$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$變形為$\frac{1}{{x}^{2}+1+\frac{1}{{x}^{2}}}$，然后利用整體代入的方法．

解答 解：∵x²-4x-1=0，
∴x-4-$\frac{1}{x}$=0，
∴x-$\frac{1}{x}$=4，
x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²+2=16+2=18，
$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{{x}^{2}+1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{18+1}$=$\frac{1}{19}$．

點評 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．