Question

17．已知關于x的一元二次方程（a-5）x²-4x-1=0．
（1）若該方程有實數根，求a的取值范圍．
（2）若該方程一個根為-1，求方程的另一個根．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次方程的定義結合根的判別式即可得出關于a的一元一次不等式組，解之即可得出結論；
（2）將x=-1代入原方程求出a的值，設方程的另一個根為m，將a代入原方程結合根與系數的關系即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）∵關于x的一元二次方程（a-5）x²-4x-1=0有實數根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-5≠0}\\{△=（-4）^{2}+4（a-5）≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥1且a≠5．
∴a的取值范圍為a≥1且a≠5．
（2）∵方程一個根為-1，
∴（a-5）×（-1）²-4×（-1）-1=a-2=0，解得：a=2．
當a=2時，原方程為3x²+4x+1=0，
設方程的另一個根為m，
由根與系數的關系得：-m=$\frac{1}{3}$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$．
∴方程的另一個根為-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，根據一元二次方程的定義結合根的判別式得出關于a的一元一次不等式組是解題的關鍵．