Question

6．如圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，分別作?ABFD與?ACGE，連接AF，CE．
（1）當點D在△ABC外，如圖1，求證：AF=CE，AF⊥CE；
（2）當點D在△ABC內，如圖2，問題（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先利用SAS證明△EAC≌△FBA，則EC=AF，∠AFB=∠AEC，再延長FA交EC于G，證∠AEC+∠EAG=90°，即可得AF⊥EC；
（2）如圖2，結論仍然成立，同理可證△EAC≌△FBA，則EC=AF，∠BAF=∠ECA，再由直角△ANC中兩銳角互余得出結論．

解答 證明：（1）如圖1，∵△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AD=BF，AD∥BF，
∴BF=AE，
∵AD∥BF，
∴∠DAB+∠FBA=180°，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=180°，
∴∠EAC=∠FBA，
在△EAC和△FBA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△FBA（SAS），
∴EC=AF，∠AFB=∠AEC，
延長FA交EC于G，
∵AD∥FB，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠DAF=∠AEC，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAF+∠EAG=90°，
∴∠AEC+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BC；
（2）如圖2，結論仍然成立，理由是：
同理得：AB=AC，BF=AE，
作射線CA至H，則∠HAE+∠EAC=180°，
∵BF∥AD，
∴∠FBA+∠BAD=180°，
∵∠BAH=∠EAD=90°，
∴∠HAE+∠EAB=90°，∠BAD+∠EAB=90°，
∴∠HAE=∠BAD，
∴∠EAC=∠FBA，
∴△EAC≌△FBA，
∴AF=EC，∠BAF=∠ECA，
設CE與AB交于N，AF與EC交于點M，
∵∠BAC=90°，
∴∠ECA+∠ANC=90°，
∴∠BAF+∠ANC=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥EC．

點評 本題考查了等腰直角三角形、平行四邊形、全等三角形的性質和判定，此類題型是�？碱}型，以證明三角形全等這突破口，兩問的證法類似，但本題的圖形較為復雜，所以要認真觀察，利用平行四邊形邊和角的性質得出有利于三角形全等的條件，從而使問題得以解決．