Question

1．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F．
（1）當∠MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1），求證：AE+CF=EF．
（2）當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．

小明第（1）問的證明步驟是這樣的：
延長DC到Q使CQ=AE，連結BQ，
證出△BAE≌△BCQ得到BE=BQ，∠ABE=∠CBQ；
再證△BEF≌△BQF，得到EF=FQ，證出EF=CF+CQ，即EF=CF+AE．
請你仿照小明的證題步驟完成第（2）問的證明．

Answer 1

分析 延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，則△BAE≌△BCK，然后可得BE=BK，∠ABE=∠KBC，再證明△KBF≌△EBF，可知KF=EF，所以KC+CF=EF，即AE+CF=EF．

解答 解：圖2成立，圖3不成立．
證明圖2．
延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，
在△BAE與△BCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCk}\\{AE=CK}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△BCK（SAS），
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF與△EBF中
$\left\{\begin{array}{l}{BK=BE}\\{∠KBF=∠ABF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴△KBF≌△EBF（SAS），
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
圖3不成立，同理可證：AE、CF、EF的關系是AE-CF=EF．

點評 本題考查全等三角形的判定與性質，涉及分類討論的思想，題目較為綜合．