Question

10．設拋物線y₁=a（x-t）（x+t-2）（a≠0）與直線y₂=kx+b（b≠0）交于點（3，0），若函數y=y₁+y₂與x軸只有一個交點，則k與a的數量關系是（　　）

• A． k=4a
• B． k=-4a
• C． k=-$\frac{a}{4}$
• D． k=4a或k=-4a

Answer 1

分析 把（3，0）代入二次函數的解析式求得t的值，則二次函數的解析式即可求得，代入y₂=kx+b（b≠0）求得k和b的關系，則y即可利用a、k、b表示，然后根據函數y=y₁+y₂與x軸只有一個交點求得．

解答 解：把（3，0）代入拋物線y₁=a（x-t）（x+t-2）（a≠0）得a（3-t）（1+t）=0，
∵a≠0，
∴t=3或-1．
則y₁=a（x+1）（x-3），即y₁=ax²-2ax-3a，
把（3，0）代入y=kx+b得3k+b=0，即b=-3a．
函數y=y₁+y₂=ax²-2ax-3a+（kx+b）=ax²+（k-2a）x+（b-3a）．
則（k-2a）²-4a（b-3a）=k²+16a-4ak-4ab=k²+16a²-4ak+12ak=k²+16a²+8ak=（k+4a）²=0，
則k+4a=0，
則k=-4a．
故選B．

點評 本題考查了二次函數圖象與x軸的交點的個數，根據求得t的值是解決本題的關鍵．