Question

15．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分別以AC，BC為邊作等邊三角形，面積分別記為S₁，S₂，則S₁+S₂的值等于4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據勾股定理有AC²+BC²=AB²=16，再根據等式性質可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=4$\sqrt{3}$，再根據等邊三角形的性質以及特殊三角函數值，易求而S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°AC•AC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²，同理可求S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，從而可得S₁+S₂=S₃=4$\sqrt{3}$．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，
∴AC²+BC²=AB²=16，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=4$\sqrt{3}$，
又∵S₁=$\frac{1}{2}$×sin60°AC•AC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴S₁+S₂=S₃=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質、特殊三角函數值．解題關鍵是根據等邊三角形的性質求出每一個三角形的面積．