Question

17．計算與化簡
（1）$\sqrt{75}$+2$\sqrt{5\frac{1}{3}}$-3$\sqrt{108}$-8$\sqrt{\frac{1}{3}}$
（2）$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$+2$\sqrt{27}$-${（\sqrt{3}-1）}^{0}$
（3）$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{6}}{\sqrt{8}}$-$\frac{4}{3}$+$\sqrt{27}$×$\sqrt{8}$
（4）${（3+2\sqrt{2}）}^{5}$${（3-2\sqrt{2}）}^{6}$-${（\sqrt{18}-1）}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先化簡二次根式進而合并求出答案；
（2）首先化簡二次根式以及結合零指數冪的性質化簡進而合并求出答案；
（3）首先化簡二次根式進而合并求出答案；
（4）利用積的乘方運算法則化簡進而求出答案．

解答 解：（1）$\sqrt{75}$+2$\sqrt{5\frac{1}{3}}$-3$\sqrt{108}$-8$\sqrt{\frac{1}{3}}$
=5$\sqrt{3}$+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-3×6$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
=-13$\sqrt{3}$；

（2）$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$+2$\sqrt{27}$-${（\sqrt{3}-1）}^{0}$
=2（$\sqrt{3}$+1）+6$\sqrt{3}$-1
=8$\sqrt{3}$+1；

（3）$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{6}}{\sqrt{8}}$-$\frac{4}{3}$+$\sqrt{27}$×$\sqrt{8}$
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{4}{3}$+3$\sqrt{3}$×2$\sqrt{2}$
=$\frac{13\sqrt{6}}{2}$-$\frac{4}{3}$；

（4）${（3+2\sqrt{2}）}^{5}$${（3-2\sqrt{2}）}^{6}$-${（\sqrt{18}-1）}^{2}$
=[（3+2$\sqrt{2}$）（3-2$\sqrt{2}$）]⁵（3-2$\sqrt{2}$）-（3$\sqrt{2}$-1）²
=3-2$\sqrt{2}$-（18+1-6$\sqrt{2}$）
=-16+4$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．