Question

12．在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4$\sqrt{3}$，點P在菱形內，若PB=PD=4，則∠PDC的度數為90°或30°．

Answer 1

分析 分成P在OA上和P在OC上兩種情況進行討論，根據△ABD是等邊三角形可得BD=AB=4$\sqrt{3}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠ADO=60°，再利用三角函數值可得∠PDO=30°，進而可得答案．

解答 解：設AC和BE相交于點O．
當P在OA上時，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=4$\sqrt{3}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠ADO=60°，
∴cos∠PDO=$\frac{DO}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDO=30°，
∴∠ADP=60°-30°=30°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠PDC=120°-30°=90°，
當P在OC上時，∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠DAB=60°，DC=BC，
∴△DBC是等邊三角形，
∴∠BDC=60°，
∵∠PDO=30°，
∴∠PDC=30°，
故答案為：90°或30°．

點評 本題考查了菱形的性質，注意到P在AC上，應分兩種情況進行討論是解題的關鍵．