Question

2．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連接PA、AO，并延長AO交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AC=6，OC=4，求PA的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質可得：OP是線段AB的垂直平分線，進而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進而可得∠PBO=∠PAO，然后根據切線的性質可得∠PBO=90°，進而可得：∠PAO=90°，進而可證：PA是⊙O的切線；
（2）連接BE，由AC=6，OC=4，可求OA的值，然后根據射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據勾股定理可求AP的值．

解答 （1）證明：連接OB，則OA=OB，

∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OP=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB為⊙O的切線，B為切點，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：連接BE，

∵OC=4，AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴AE=2OA=4$\sqrt{13}$，OB=OA=2$\sqrt{13}$，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC²=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，切線的性質和判定，做好本題是明確兩點：①圓的切線垂直于經過切點的半徑． ②經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．