Question

2．如圖1，在直角坐標系中，點A坐標為（0，12），經過原點的直線l₁與經過點A的直線l₂相交于點B（m，n）
（1）若m=9，n=3，求直線l₁和l₂的解析式；
（2）將△BAO繞點B順時針旋轉180°得△BFE，
如圖2，連接AE，OF；
①證明：四邊形OFEA是平行四邊形；
②若四邊形OFEA是正方形，則m=6，n=6．

Answer 1

分析 （1）由條件可得出B點坐標，結合A點坐標，利用待定系數法可求得兩直線解析式；
（2）①由旋轉的性質可得AB=BF、BO=BE，可證明四邊形OFEA是平行四邊形；②過B作BM⊥x軸于M，作BN⊥y軸于N，由正方形的性質可知BM=BN=$\frac{1}{2}$OA，可求得答案．

解答 解：
（1）由題意可知B（9，3），
設直線l₁的解析式為y=kx，則3=9k，解得k=$\frac{1}{3}$，
∴直線l₁的解析式為y=$\frac{1}{3}$x；
設直線l₂的解析式為y=ax+b，
把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為y=-x+12；
（2）①∵將△BAO繞點B順時針旋轉180°得△BFE，
∴AB=BF、BO=BE，
∴四邊形OFEA是平行四邊形；
②如圖，過B作BM⊥x軸于M，作BN⊥y軸于N，

∵四邊形OFEA為正方形，
∴B為AF的中點，M為OF的中點，
∴BM=$\frac{1}{2}$OA=6，
∵N為AO的中點，△ABO為直角三角形，
∴BN=$\frac{1}{2}$AO=6，
∴m=6，n=6，
故答案為：6；6．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、平行四邊形的判定、正方形的性質、直角三角形的性質及三角形中位線定理等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）①中根據旋轉的性質得到四邊形的對角線互相平分是解題的關鍵，在②中利用正方形的性質求得B點坐標是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．