Question

5．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，∠C=90°，c=5，a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的兩個根，求Rt△ABC中較小銳角的正弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=m，ab=2m-2，根據(jù)勾股定理得出a²+b²=5²，求出m²-2（2m-2）=25，求出m，得出方程，求出方程的解，即可得出答案．

解答 解：∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的兩個根，
∴a+b=m，ab=2m-2，
由勾股定理得：a²+b²=5²，
（a+b）²-2ab=25，
m²-2（2m-2）=25，
解得：m=7或-3，
當(dāng)m=-3時，ab=2×（-3）-2=-8＜0，兩邊長的積不能為負數(shù)，不符合題意舍去；
當(dāng)m=7時，方程為x²-7x+12=0，
解得：x=4或3，
即a=4，b=3或a=3，b=4，
Rt△ABC中較小銳角的正弦值為$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，能求出m的值是解此題的關(guān)鍵．