Question

15．定義：自變量為x的某個函數記為f（x），當自變量x取某個實數x₀時的函數值記f（x₀），自變量x的取值范圍為函數的定義域，定義域內的自變量x對應的所有的函數值的集合為函數的值域．若a、b為任意兩個不相等的實數，我們規定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，記為[a，b]．
（1）設反比例函數f（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0）的定義域是[3，6]，值域為[2，a]，求k、a的值；
（2）一次函數f（x）=kx+b（k≠0）的定義域[-3，1]，值域為[5，9]，求函數的解析式；
（3）是否存在這樣的b、c，使得二次函數f（x）=x²+bx+c的定義域為[-4，2]值域為[6，10]，若存在，求b、c的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）因為反比例函數f（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0）的定義域是[3，6]，值域為[2，a]，所以在第一象限，y隨x的增加而減小，得到x=6時，y=2，推出k=12，當x=3時，y=$\frac{12}{x}$=4，即a=4．
（2）由于一次函數是遞增或遞減函數，所以當一次函數y=kx+b為增函數時，則x=-3，y=5；x=1，y=9當一次函數y=kx+b為減函數時，則x=-3，y=9；x=1，y=5，然后把它們分別代入y=kx+b中得到方程組，再解兩個方程組即可．
（3）二次函數f（x）=x²+bx+c的定義域為[-4，2]值域為[6，10]，對稱軸x=-$\frac{b}{2}$，按照對稱軸在x=-4的左邊，在[-4，-1]內，在[-1，2]內，在x=2的右邊，分別列出方程組即可解決問題．

解答 解：（1）∵反比例函數f（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0）的定義域是[3，6]，值域為[2，a]，
∴在第一象限，y隨x的增加而減小，
∴x=6時，y=2，
∴k=12，
∴x=3時，y=$\frac{12}{x}$=4，
∴a=4．

（2）解：當x=-3，y=5；x=1，y=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=5}\\{k+b=9}\end{array}\right.$，
解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=8}\end{array}\right.$；
當x=-3，y=9；x=1，y=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=9}\\{k+b=5}\end{array}\right.$，
解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴函數的解析式為y=x+8或y=-x+6．

（3）存在．理由如下，
∵二次函數f（x）=x²+bx+c的定義域為[-4，2]值域為[6，10]，對稱軸x=-$\frac{b}{2}$，
∴當-$\frac{b}{2}$＜-4時，$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）=6}\\{f（2）=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=6}\\{4+2b+c=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$（舍棄），
當-4≤-$\frac{b}{2}$≤-1時，$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=6}\\{f（2）=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}+c=6}\\{4+2b+c=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=-8}\\{c=22}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=6}\end{array}\right.$（舍棄），
當-1＜-$\frac{b}{2}$≤2時，$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=6}\\{f（-4）=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}+c=6}\\{16-4b+c=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{c=42}\end{array}\right.$（舍棄），
當-$\frac{b}{2}$＞2時$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）=10}\\{f（2）=6}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=10}\\{4+2b+c=6}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{c=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$（舍棄），
綜上所述，滿足條件的b、c的值為$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=10}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法求函數解析式、函數的增減性等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，把問題轉化為方程組解決，屬于中考壓軸題．