Question

14．如圖，二次函數y=-2x²+4x的頂點為M，一次函數y=x與拋物線分別交于O，N兩點，拋物線上有一動點P，直線ON上一動點Q
（1）請分別求出點M，N的坐標；
（2）P、Q、M、N四點能否構成以MN為邊的平行四邊形？如果能，請求出此時P點的坐標；如果不能，請說明理由；
（3）過Q、M、N三點作⊙E，當點Q從點O運動到點N時，圓心E運動路徑長度為$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）利用配方法或頂點坐標公式可求頂點坐標，利用方程組可求點N坐標．
（2）存在．過點M作MP∥ON，過點P作PQ∥MN，則四邊形MNQP是平行四邊形．求出直線PM的解析式，利用方程組即可求出點P的坐標，再根據對稱性，求出P′、P″的坐標即可．
（3）如圖，連接OM，當點Q從點O運動到點N時，圓心E運動路徑是線段E′E″，易知E′E″是△MON是中位線，求出ON的長即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=-2x²+4x=-2（（x-1）²+2，
∴頂點M坐標（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

（2）存在．理由如下，
過點M作MP∥ON，過點P作PQ∥MN，則四邊形MNQP是平行四邊形．
∵PM∥ON，
∴直線PM的解析式為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
直線PM與y軸的交點為H（0，1），點H關于原點的對稱點K（0，-1），過點K平行ON的直線為y=x-1，直線y=x-1與拋物線的交點P′、P″也滿足條件．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{4}}\\{y=\frac{\sqrt{17}-1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}}\\{y=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}}\end{array}\right.$，
∴P′（$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$），P″（$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$）．

（3）如圖，連接OM，
∵M（1，2），N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OM=$\sqrt{5}$，MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，ON=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴OM²=5，MN²+ON²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=5，
∴OM²=MN²+ON²，
∴∠MNO=90°，
∴△MNQ的外接圓的圓心是線段MQ的中點，
∴當點Q從點O運動到點N時，圓心E運動路徑是線段E′E″，易知E′E″是△MON是中位線，
∵ON=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴E′E″=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
故答為$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、兩直線平行k相同、平行四邊形的判定和性質、三角形的中位線定理、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，第三個問題的關鍵是證明∠MNO=90°，確定點E的軌跡是△MON的中位線，屬于中考壓軸題．