Question

8．如圖所示，已知點N（1，0），直線y=-x+2與兩坐標軸分別交于A，B兩點，M，P分別是線段OB，AB上的動點，則PM+MN的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，點N關于OB的對稱點N′（-1，0），過點N′作N′P⊥AB交OB于M，則PN′=PM+MN的最小值，根據直線AB的解析式為y=-x+2，得到直線N′P的解析式為y=x+1，得到P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），推出△PAN′是等腰直角三角形，于是得到結論．

解答 解：如圖，點N關于OB的對稱點N′（-1，0），過點N′作N′P⊥AB交OB于M，
則PN′=PM+MN的最小值，
∵直線AB的解析式為y=-x+2，
∴直線N′P的解析式為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴△PAN′是等腰直角三角形，
∵AN′=3，
∴PN′=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴PM+MN的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、兩點之間距離公式等知識，解題的關鍵是利用對稱性找到點D、點E位置，屬于中考常考題型．