Question

18．將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，如圖①所示，∠BAB′=θ，$\frac{A{B}^{′}}{AB}$=$\frac{{B}^{′}{C}^{′}}{BC}$=$\frac{A{C}^{′}}{AC}$=n，我們將這種變換記為[θ，n]．
（1）如圖①，對△ABC作變換[60°，$\sqrt{3}$]得到△AB′C′，則S_△AB'C：S_△ABC=3；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為60度；
（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換[θ，n]得到△AB′C′，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求θ和n的值；
（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，對△ABC作變換[θ，n]得到△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)變換[60°，$\sqrt{3}$]的定義，即可解決問題．
（2）想辦法求出∠CAC′，以及$\frac{AC′}{AC}$的值即可．
（3）想辦法求出∠BAB′，以及$\frac{B′C′}{BC}$的值即可

解答 解：（1）如圖①中，設(shè)直線BC與直線B′C′的交點為H，AB′交BH于O．

∵△ABC∽△AB′C′，
AB：AB′=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC：S_△AB′C′=3，
∵∠B=∠B′，∠AOB=∠HOB′，
∴∠OHB=∠BAO=60°，
故答案為3，60°．

（2）如圖②中，

∵四邊形ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．
在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，
∴n=$\frac{AB′}{AB}$=2．

（3）如圖③中，

∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，
∴θ=∠BAB′=72°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB²=CB•B′B=CB•（BC+CB′），
∵CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1•（1+AB）
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴n=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程、變換[θ，n]的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．