Question

7．設p正整數，且p≥2．在平面直角坐標系中．連結點A（0，p）和點B（p，0）的線段通過p-1個格點C₁（1，p-1），…，C_i（i，p-i），…，C_p-1（p-1，1）．證明：
（1）若p為質數，則在原點O（0，0）與點C（i，p-i）的連線段OC_i（i=1，…，p-1）上除端點外無其他格點；
（2）若在原點O（0，0）與點C（i．p-1）的連線段OC_i，（i=1，…，p-1）上除端點外無其它格點．則p為質數．

Answer 1

分析 （1）用P（a，b）表示△OAB內的格點，a，b為正整數，假設結論不成立，則點P位于某條線段OC_i內部．如圖，過點P作PE⊥OB于點E，過點C_i作C_iF⊥AB于點F．
由△OEP∽△OFC_i，知$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，得到i≤a，這與a＜i矛盾．得到原結論成立．
（2）假設結論不成立，即p為質數，故p=xy，其中x，y∈N，且2≤x，y≤p-1，因為△OAB內部的格點的橫、縱坐標之和可以是從2到p-1之間的任何整數，故必存在一格點P（a，b）滿足a+b=x，得到點P（a，b）在線段OC_i內部，即在線段OC上除端點外還有其它格點，這與已知矛盾．得到原結論成立．

解答 解：（1）用P（a，b）表示△OAB內的格點，a，b為正整數，
假設結論不成立，則點P位于某條線段OC_i內部．
如圖，過點P作PE⊥OB于點E，過點C_i作C_iF⊥AB于點F．
由△OEP∽△OFC_i，知$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，
其中1≤i≤p-1，
則1≤a≤i，1≤b≤p-i，
由$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，知（a+b）i=ap，
則i|ap，
因為p為質數，且1≤i≤p-1，
則i與p互質，
則i|a，
故i≤a，
這與a＜i矛盾．
所以，假設不成立，
所以原結論成立．

（2）假設結論不成立，即p為質數，故p=xy，其中x，y∈N，且2≤x，y≤p-1，
因為△OAB內部的格點的橫、縱坐標之和可以是從2到p-1之間的任何整數，
故必存在一格點P（a，b）滿足a+b=x，
則（a+b）y=xy=p，即ay+by=p，
故點（ay，by）必是C₁（1，p-1），…，C_i（i，p-i），…，C_p-1（p-1，1）中的一個點，
設為C_i（i，p-i），
則有ya=i，by=p-i，
故$\frac{b}{a}$=$\frac{p-i}{i}$，
所以點P（a，b）在線段OC_i內部，即在線段OC上除端點外還有其它格點，這與已知矛盾．
故原結論成立．

點評 此題考查了質數與合數，是競賽題型，難度較大，本題關鍵是通過假設法，得到矛盾的結論，從而求解．