Question

20．觀察下列式子
${\;}_{3=4×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}，4=5×\frac{3}{4}+\frac{1}{4}…}^{1=2×\frac{0}{1}+1，2=3×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$
（1）根據(jù)上述規(guī)律，請猜想，若n為正整數(shù)，則n=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$
（2）證明你猜想的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的4個(gè)算式，可得：若n為正整數(shù)，則n=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論即可．

解答 （1）解：若n為正整數(shù)，則n=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$．
（2）證明：∵右邊=（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$
=$\frac{{n}^{2}-1}{n}$+$\frac{1}{n}$
=$\frac{{n}^{2}}{n}$
=n
=左邊，
∴原等式成立．
故答案為：（n+1）$\frac{n-1}{n}$+$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了探尋規(guī)律問題，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．