Question

4．如圖，A，B，C是⊙O上三個點，∠AOB=2∠BOC，則下列說法中正確的是（　　）

• A． ∠OBA=∠OCA
• B． 四邊形OABC內(nèi)接于⊙O
• C． AB=2BC
• D． ∠OBA+∠BOC=90°

Answer 1

分析 過O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂徑定理得到$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，于是得到$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$，推出AE=BE=BC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到2BC＞AB，故C錯誤；根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠OBA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=90°-∠BOC，∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）=90°-$\frac{3}{2}$∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A錯誤；由點A，B，C在⊙O上，而點O在圓心，得到四邊形OABC不內(nèi)接于⊙O，故B錯誤；根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OBA+∠BOC=90°，故D正確；

解答 解：過O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
則$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=$\frac{1}{2}∠$AOB，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$，
∴AE=BE=BC，
∴2BC＞AB，故C錯誤；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=90°-∠BOC，
∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）=90°-$\frac{3}{2}$∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A錯誤；
∵點A，B，C在⊙O上，而點O在圓心，
∴四邊形OABC不內(nèi)接于⊙O，故B錯誤；
∵∠BOE=∠BOC=$\frac{1}{2}∠$AOB，
∵∠BOE+∠OBA=90°，
∴∠OBA+∠BOC=90°，故D正確；
故選D．

點評 本題考查了圓心角，弧，弦的關(guān)系，垂徑定理，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．